유리수와 무리수는 둘 다 무한 집합이다.

뿐만 아니라, 자연수, 정수, 복소수, 실수 등의 집합도 무한집합이다.

그런데, 어떤 집합의 원소가 더 많은가를 묻는 질문은 어리석게 들린다.

무한집합에 대하여는 칸토어가 많은 업적을 남겼는데 칸토어 이전에는 자연수의 집합이나 실수 집합의 원소의 개수를 나타내는데 구분없이 ∞를 사용하였다. 그러나 칸토어는 무한을 셀 수 있는 무한과 셀 수 없는 무한으로 구분하여 자연수 집합의 원소의 개수(칸토어는 이를 위해 “농도”라는 새로운 용어를 사용했다.) א₀ 로 나타내어 셀 수 있는 무한집합 즉, 가산집합(countable set)이라 하였다.

두 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면 두 집합은 대등(對等)하다라고 하고, 자연수 집합과 대등한 집합은 모두 가산집합으로 원소의 개수를 א₀ 로 나타낸다.즉, 이들 집합은 농도가 모두 같다.

그러면, 가산집합의 예를 들어보자.

◈ 짝수나 홀수는 가산집합이다.

 (∵) 

   

 따라서, 짝수나 홀수를 차례로 나열한 다음 자연수에 대응시킬 수 있으므로 가산집합이다.

◈ 정수의 집합은 가산집합이다.

 (∵) 정수 집합의 원소를 재배열하면

       Z={0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …}

     으로 나타내어 차례로 셀 수 있기 때문이다.

◈ 유리수 집합은 가산집합이다.

 (∵) 양의 유리수 전체를 다음과 같이 배열한다.  

       

 여기에서 화살표 방향의 순서대로 중복되는 것은 건너뛰면서 세어 나가면, 양의 유리수 는   모두 셀 수 있다.

 음의 유리수도 마찬가지이다.

 다음으로, 유리수 전체를 정수의 집합을 세듯이 0부터 시작하여 위에서 정한 순서대로 양 수 첫 번째, 음수 첫 번째, 양수 두 번째, 음수 두 번째, … 이렇게 하면 모든 유리수를 전부 셀 수 있다.

따라서, 유리수 집합은 가산집합이다.

 

이번에는 셀 수 없는 무한집합 즉, 비가산집합(Uncountable set)에 대하여 말해보자.

◈ 실수는 비가산집합이다.

 칸토어는 “대각선 논법”이라고 하는 참으로 교묘한 귀류법을 사용하여 이를 증명하였다.

 (∵) 범위를 줄여 0과 1 사이의 모든 실수를 무한소수로 나타낸다.

 예를 들면, 0.5=0.4999…로 나타낼 수 있다. 이제 귀류법을 이용하여 무한소수를  일일이 셀 수 있다고 가정하고 무한소수를 모두 나열한 다음 그 목록에 없는 새로운 수를 찾아 내면 0과   1사이의 실수의 집합은 비가산집합임이 증명된다.

 즉, 

       

  여기서, 대각선의 수와는 같지 않은 자연수 로 이루어진 수

 은 위의 어떤 수와도 같지 않다.

 따라서 모순이다. 왜냐하면, 0과 1사이의 모든 수를 나열 했는데 나열한 수의 어느것과도  같지 않은 새로운 수 b가 나타났기 때문이다.

 따라서, 0과 1사이의 실수의 집합은 비가산집합이고 이 집합을 포함하는 실수 전체의 집합은 비가산집합이다.

 실수의 집합은 셀 수 없는 무한 개 임을 알 수 있고, 그 개수는 א로 나타낸다.

 또한, א₀<א 임은 분명하다.

실수의 개수를 셀 수 없다는 것을 이용하면 무리수의 개수도 셀 수 없다는 것을 알수 있다. 왜냐하면 유리수의 집합은 가산집합이므로 만일 무리수의 집합도 가산집합이라면, 유리수와 무리수를 번갈아 하나씩 세어나가면서 실수 전체도 셀 수 있게 되어 모순이 되기 때문이다.

다시 말하면, 유리수는“셀 수 있을 만큼 많이” 존재하고 무리수는 “셀 수 없을 만큼 많이”존재한다.

즉, 무리수는 유리수보다 “훨씬 더 많이” 존재한다.

 

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음.. 어떤 책을 읽어볼까...

도무지 집중이 안된다는 이유로 책 한권을 제대로 읽지 못하고 있는 요즘..

다시 또 책들을 뒤적이다가 『무한론 교실』에서 잠시 시선이 멈췄고 학생들에게 참고삼아 소개해주려고 정리 해 놓은 내용인데 블로그에 살짝 옮겨본다..

지난 중간고사에서 무한소수의 크기를 비교하는 문제에서 약간은 황당한 발상으로 틀렸던 한 녀석은 아직도 가끔씩 찾아와 자신의 생각을 인정해달라며 애교어린 눈빛을 보낸다.

그 녀석에게 이 내용을 보여주며 "무한"에 관한 심오한(!) 대화를 나눠도 재밌을것 같은데...

무리겠지?! 아직 중학교 2학년인데~^-^