빅데이터 분석과 인공지능 활용을 하고 싶은 사람입니다. 그래서 이런저런

책을 읽었더니 대부분 수학을 추천하더군요. 그런데 수포자가 접니다. 그래서

'이런 C!'라고 포기할까 하다가 수학 때문에 포기하기에는 빅데이터 분석과 인

공지능 활용은 발등에 떨어진 불이라 방법을 찾던 중 이 책을 만났습니다.

    수 세기, 곱셈구구, 삼각형, ... 무척 쉬워 보이는 내용이지요. 그런데 여러분, 고등학교 수학의 모든 개념이 초등수학에 고스란히 뿌리를 두고 있다면 믿으시겠습니까? 미적분이, 삼각함수가 초등수학에서 시작한다는 이야기는 어떻습니까? 그동안 가르쳐왔던 모든 수학의 원초적 개념이 초등수학에 있다는 걸 깨달은 순간은 저에게도 새로운 충격이었습니다. 초등수학에서 얼마나 넓은 범위까지 배우는지 알게 된다면 여러분도 깜짝 놀랄 것입니다. 초등수학에서 배운 개념들이 어디까지 뻗어 나갈 수 있는지 알게 된다면 스스로의 잠재력에 놀랄지도 모릅니다. 여러분은 이미 모두 초등수학을 배웠으니까요.

    수학은 정의定義와 이전에 배운 사실을 연결하여 새로운 성질과 개념을 만들어내는 학문입니다. 논리적인 사고의 연결을 기반에 둔 학문이기 때문에, 수학의 모든 개념은 처음 숫자를 접하는 초등학교 1학년부터 고등학교 3학년 과정에 이르기까지 일점일획도 어긋남 없이 일관성과 연관성을 가집니다. 그래서 수학시간은 항상 이전에 배운 개념을 상기시킨 뒤 새로 배우는 개념을 정의하는 것으로 진행되지요. ... 우리에게는 이제 넘쳐나는 지식을 연결하여 새로운 개념으로 나아가는 능력이 필요합니다. 수학을 개념 있게, 다시 말하면 최초에 배운 초등수학부터 개념을 쭉 연결하여 논리를 이어가는 경험이 그래서 중요합니다. 개념을 논리에 맞게 연결하고, 이전 경험과 연관 지어 분석하는 능력을 길러주기 때문입니다.

    1부에서는 수 자체의 의미와 연산을 다루는 재미를, 분수와 비율을 다루는 2부에서는 비례적 추론 능력을 이야기합니다. 도형을 다루는 3부에서는 수학의 가장 큰 묘미라 할 수 있는 도형의 즐거움을 음미합니다. 편의를 위해 3부로 구성했지만, 책을 읽고 나면 수학의 각 개념이 서로 분리되어 있지 않고 밀접하게 연결되어 있다는 사실을 알게 될 것입니다. ... 수학을 통해 논리적 사고력을 키우고자 하는 사람, 수학을 좋아해보고 싶은 사람 모두에게 도움이 되었으면 하는 마음으로 책을 썼습니다.

    초등수학을 공부하며 중/고등학교에서 가르쳤던 미적분의 기초로서의 비율과 넓이, 삼각함수와 닮음의 기초가 되는 비, 함수의 기초가 되는 수와 연산의 의미를 새삼 깨달았을 때 느낀 감동이 여러분에게도 전해졌으면 좋겠습니다. 특히 학생 독자들이 '인생에 왜 수학이 필요한지' 깨닫게 되는 기회가 되기를 바랍니다. 9쪽

    수학을 통해 논리적 사고력을 키우고자 하는 사람, 수학을 좋아해보고 싶은 사람

그리고 수학을 통해 빅데이터 분석과 인공지능 활용에 도전하고 싶은 사람에게 이

책은 유용하다고 생각됩니다. (제가 그 사람입니다.)

    그리고 미적분의 기초로서의 비율과 넓이, 삼각함수와 닮음의 기초가 되는 비, 함수

의 기초가 되는 수와 연산에 대해 '아!'하는 느낌을 받았습니다. 물론 일석일조에, 이 책

한 번 읽었다고 수포자가 갑자기 수학천재가 되는 일을 없을 것입니다. 하지만 싸인 코싸

인이나 함수에 도전하고 싶은 마음, 그리고 미적분의 기초를 알고 미적분에 도전하는 일

이 일어났습니다. 그래서 이 책에게 고마움을 느낍니다.

등비수열은 비율이 일정한 수열입니다.

④ 1,2,4,8,16, ......

⑤ 2, -6, 18, -54, 162, ......

⑥ 1, 1/2, (1/2)제곱, (1/2)3제곱, (1/2)4제곱, ......

기하급수는 등비수열의 합을 뜻하며 교과서에서는 등비급수라고 합니다. 즉, 기하급수와 등비급수는 같은 말입니다.

    가령 앞의 ④는 등비수열, 즉 기하수열이므로 그 합 1+2+2제곱 + 2세제곱 +2네제곱+......은 듭비급수 또는 기하급수라고 할 수 있습니다. 일반적으로 등비수열은 거듭제곱으로 커지므로 등차수열에 비해 빨리 커지는 경향이 보입니다. 그것들을 다 더한 등비급수는 더 빨리 커진다고 볼 수 있습니다. 이와 같이 어떤 사물이 항상 이전 수량의 몇 배로 증가하는 경향을 기하급수적으로 증가한다고 표현합니다. 37쪽

    두 수치 a, b에 대하여 보통의 평균을 수식으로 나타내면 (a+b)/2입니다. 하지만 비율의 평균은 합을 2로 나누는 것이 아니고 곱한 다음 다시 제곱근을 취하는 방법으로 구합니다. 이렇게 하면 √ab가 평균입니다.

    기하 幾何는 도형을 뜻하는 용어입니다. 이 용어가 왜 거듭제곱으로 표현되는 등비급수에 적용되었는지 생각해보면 등비급수와 넓이 사이의 관련성을 찾을 수 있습니다. 가로, 세로의 길이가 각각 a, b인 직사작형의 넓이는 aXb이고, 한 변의 길이가 에이인 정사각형의 넓이는 에이 제곱입니다. 이처럼 넓이는 곱으로 표현됩니다. 등비수열도 계속 똑같은 수가 곱해져 거듭제곱으로 표현되므로 넓이와 등비수열 사이에는 곱한다는 공통점이 있습니다.

    등비수열은 마치 기하, 즉 도형의 넓이를 구하는 것처럼 곱셈의 개념으로 증가한다는 의미에서 기하수열이라 불리게 되었다고 볼 수 있습니다. 44쪽

    여기서 비례식을 만들면 x:1=1:(x-1)이므로 비례식의 성질을 이용하면 x(x-1) =1 이라는 등식이 나오고, 전개해서 정리하면 이차방정식 x제곱-x-1=0이 나옵니다. 여기서 이차방정식의 근의 공식을 사용하면, x=(1±√5)/2이고, 엑스는 길이이므로 엑스=(1±√5)/2가 되면 8:5로 계산되어 나옵니다.

    정오각형 에이비씨디이에 대각선을 모두 그리면 안쪽에 거꾸로 된 정오각형이 만들어집니다. 이 그림에서 길이가 다른 네 종류의 선분을 볼 수 있는데 놀랍게도 이들 사이가 모두 황금비를 이룬답니다. 즉, 선분에이씨:선분에이비, 선분에이비:선분비피, 선분비피:선분피큐가 모두 8:5입니다. 95쪽

    비가 올 확률이 이분의일이라는 것은 확률의 정의 중 마지막 공식에만 의존한 생각입니다. 일어나는 모든 경우의 수가 2, 비가 오는 경우의 수가 1이라고 생각한 것입니다. 그리고 이런 주장에 반론을 제기못하는 사람도 확률을 그 정도로 이해하고 있는 것입니다. 그러나 확률의 정의에서 가장 중요한 부분은 첫 줄에 나오는 "각 경우가 일어날 가능성이 같다고 할 때"입니다. 분모에 해당하는 일어나는 모든 경우 각각이 일어날 가능성이 같아야 합니다. 내일 비가 오거나 안 올 가능성은 같지 않습니다. 그래서 일어나는 모든 경우의 수가 2라는 것은 정의에 어긋납니다. 이것으로 비가 올 확률이 항상 이분의일이라는 주장에 모순이 있음을 지적할 수 있습니다.

    확률의 정의에 각 경우가 일어날 가능성이 같다고 하는 조건이 왜 필요한가요?

    그것은 확률이 분수로 나타나기 때문입니다. 수학은 그 특성상 모든 원칙에 일관성이 있어야 합니다. 확률을 분수로 나타낸다는 것은 분수의 정의가 확률에도 적용된다는 뜻입니다. 그런데 분수 이분의일의 뜻 을 정확히 아는 사람은 많지 않습니다.

    주사위 2개를 동시에 던질 때 한 눈이 다른 눈의 배수가 될 확률은?

    이제 문제를 풀어보겟습니다. 먼저 전체 경우의 수를 계산합니다. 주사위 하나를 던지면 6가지 경우의 수가 나오므로 주사위 2개를 던지면 6곱하기6=36(가지)이 나옵니다. 36을 구하는 계산은 아주 간단하지만 6과 6을 곱하는 이유를 설명하는 것은 그리 간단한 일이 아닙니다. 이 부분이 대단히 중요한 과정인데 대부분은 따지지 않고 습관적으로 넘어갑니다.

    곱하는 이유는 이렇게 설명 가능합니다. 에이 주사위가 1일 때 비 주사위는 1~6의 6가지가 나올 수 있고, 에이 주사위가 2일 때 역시 비 주사위가 6가지 나올 수 있습니다. 이와 같이 에이 주사위의 수 각각에 대하여 비 주사위가 항상 6가지씩 나올 수 있으므로 총 경우의 수는 6+6+6+6+6+6=6곱하기 6이 되는 것이지요. 111쪽  

    에펠탑에 삼각형이 많은 이유 초4 삼각형과 사각형

정사각형처럼 세 변의 길이가 모두 같고 세 각의 크기도 모두 같은 삼각형 아닌가요?

    일부러 정사각형 정의를 먼저 알아본 다음 정삼각형 정의를 물으면 많은 사람이 그렇게 대답한답니다. 주변에 수학 교과서아 수학 사전이 있으면 한번 찾아보세요. 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형입니다. 각에 대한 조건이 빠지네요.

    삼각형에서는 변의 길이가 정해지면 각의 크기도 정해지기 때문에 별도의 조건이 필요하지 않습니다. 그런데 사각형은 변의 길이가 정해져도 각이 고정되지 않기 때문에 각에 대한 규정을 하지 않으면 그 모양이 정해지지 않습니다. 150쪽

    보도블록의 비밀을 밝혀라 초5다각형 156쪽에서 시작

    겹치지 않고, 빈틈이 없어야 한다는 기본 원칙에 모두 어긋납니다. 그래서 정오각형만으로 만들어진 보도블록은 없습니다. 정육각형에 대해서는 이미 알아보았으니 정칠각형으로 넘어가보겠습니다. 칠각형을 쪼개면 삼각형이 5개 나옵니다. 칠각형 각의 총합은 900도이지요. 이것을 7로 나누면 정칠각형의 한 각의 크기는 900/7도입니다. 정칠각형 3개를 붙이면 2700/7도가 되는데, 이미 360도보다 큽니다. 따라서 정칠각형보다 큰 다각형은 3개만 붙여도 모두 360도가 넘기 때문에 평면을 채울 수 없다는 결론에 이릅니다. 163쪽

    탑이나 건물에 올라가지 않고도 높이를 재는 것은 전문가만 할 수 있는 일 아닌가요? 우리가 그 높이를 알 수 있는 방법이 있어요? 174쪽

    1. 세 변의 길이가 주어진 경우

    2. 두 변의 길이와 그 사잇각의 크기가 주어진 경우

    3. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우

    이 중 건물의 높이를 잴 때는 주로 3을 사용합니다. 177쪽

    그럼 반듯하지 않은 평행사변형은 어떻게 그 넓이를 구할 수 있었나요? 194쪽

    평행사변형을 대각선으로 자르면 삼각형이 2개 생기는데. 중요한 것은 이 두 삼각형의 널이가 같다는 사실입니다. 평행사변형이 아닌 보통의 사각형을 대각선으로 자르면 삼각형이 2개 생기기는 하지만 그 넓이가 항상 같다는 보장은 없습니다. 평생사변형이기 때문에 쪼개기는 두 삼각형의 넓이가 같은 것입니다. 이때 삼각형의 넓이는 평생사변형의 넓이의 절반이기 때문에 삼각형이 넓이 구하는 공식이 밑변 곱하기 높이 나누기 2가 된 것입니다. 197쪽

    핵심은 넓이가 변함없어야 한다는 것, 즉 등적변형이네요. 평행선을 사용해야겠지요. 204쪽

내용은 책을 읽어보세요. 등적변형이 일상에서 쓰이나요? 그럼요. 구부러진 농지를 직선으로 정리할 때 사용됩니다. 에 대한 답입니다.

    학교를 떠나 시민 단체에서 일하며 학생들을 많이 만났습니다. 학생들을 돕기 위해 수학 개념을 관게적으로 연결하는 학습법을 만들었는데. 어느 순간부터 학생들이 수학이 좋다고, 수학이 왜 필요한지 알겠다고 말하기 시작했습니다. 초등학교에서 배운 수학이 중학교 수학에 연결되어 마침내 개념을 이해한 중학생이, 중학교에서 배운 수학이 고등학교 수학으로 연결된다는 걸 눈치챈 고등학생이 자기도 모르게 "아하!" 하고 내뱉었지요. 눈치가 별로 없는 저도 서서히 학생들이 "아하!" 하고 외치는 순간을 알아차리게 되었습니다. 후학 학습 심리학자 스켐프는 개념연결 학습의 장점 중 하나로 수학에 대한 내적인 동기가 생긴다는 점을 내세웠는데, 그 말이 사실임을 50대 중반에야 경험하게 된 것입니다.

    개념연결을 통해 길러진 논리적 사고력으로 수학 문제를 푸는 것이 아니라, 공식을 암기해 문제를 푸는 스킬을 익히는 것이 전부인 현 수학교육의 문제를 개선하지 않으면 4차 산업혁명시대를 불행하게 지낼지도 모릅니다.

    개념을 논리적으로 연결하여 학습하는 과정을 통해 수학적 사고력을 키워나가는 데 이 책이 도움이 되었으면 좋겠습니다. 239쪽

    지금 PC에 핸드폰이 연결되지 않아서 책 내용을 사진으로 찍어 올리지 못했습니다. 정오각형을 대각선으로 나누는 모습이라던가 구부러진 농지를 서로에게 맞게 쭉 펴는 장면을 보여드리고 싶었는데 안타깝네요.

    무엇보다 미적분의 기초로서의 비율과 넓이, 삼각함수와 닮음의 기초가 되는 비, 함수의 기초가 되는 수와 연산에 대해 '아!'하는 느낌을 받았습니다 이 느낌을 전달하고 싶었는데 쉽지 않네요. 우엣든 수포자인 저에게 수학의 개념과 논리적으로 연결하여 학습하는 것이 '이런 것이구나'라는 느낌을 알게 해준 <내가 정말 알아야할 수학은 초등학교에서 모두 배웠다>가 다른 수포자 부모님들에게도 감동으로 다가서길 기대

합니다.

리뷰어클럽서평단자격으로 작성한 리뷰입니다.