데카르트가 수학에 미친 영향

 

1.  서론.

 

데카르트는 프랑스 철학자이다.

“나는 생각한다. 고로 존재한다.”라는 데카르트의 말은 누구나 기억할 정도로 유명한 말이다.

 

그런 철학자가 수학에 영향을 미쳤다니, 무슨 일인가? 궁금했다.

언뜻 생각하기에 철학과 수학은 관련이 없을 것 같은데, 유명한 철학자가 수학에 영향을 미쳤다는 전제 아래, 데카르트가 수학에 미친 영향을 알아오라는 선생님의 과제는 나를 당혹하게 만든 주제였다.

 

그러나, 그 과제를 풀기 위해 자료를 찾아보는 과정에, 뜻밖에도 철학자 중에 수학자가 많이 있는 것을 알게 되었다. 파스칼도 철학자이면서 수학자이고 데카르트도 마찬가지이다.

파스칼은 “팡세”라는 책으로 유명한데, 그가 계산기를 만들었다니, 놀라운 일이었다. 그러니 철학자인 데카르트가 수학을 연구했다는 것은 하등 이상한 일이 아닐뿐더러, 분명 수학에 영향을 미쳤을 것은 분명하다.

 

그래서 여러 자료를 살펴보았더니, 우리가 지금 배우고 있는 수학의 좌표는 물론이고 함수, 및 기타 여러 가지 중요한 것들을 발견한 위대한 수학자였다. 따라서 데카르트는 수학에 영향을 많이 끼쳤음이 분명하다.   

 

2.    데카르트는 누구인가?

 

1)    생애 (Rene Descrtes; 1596 ∼ 1650)

 

데카르트는 1596년 프랑스의 투르(Tours) 근교에서 태어났다. 그의 아버지는 브르타뉴의 렌 시의원이었으며, 어머니는 그가 태어난 지 14달이 못되어 세상을 떠났다. 이후 그는 외할머니 밑에서 성장했으며, 어린 시절 건강이 무척 약했다고 전해진다.
1606년 그는 예수회가 운영하는 라 플레쉬 콜레즈에 입학하여 1614년까지 철저하게 중세식 인본주의 교육을 받게 되는데, 그는 그곳에서 자연철학, 형이상학, 윤리학을 포괄하는 철학 수업을 받았다.

 

 1612년 그는 학교를 떠나 곧장 파리로 가서 메르센과 미도르주와 더불어 얼마간 수학연구에 전념했다.

 

1619년 네덜란드를 여행하면서 그의 첫 작품인 '음악 개론'을 썼는데,
같은 해 군입대를 위해 프랑크푸르트를 가던 중 삶의 목표를 학문에 두기로 결심을 한 후, 1628년까지 광학, 대수학 그리고 인간의 감성에 관해 연구를 하였다.

당시 국력이 최고조에 달한 네덜란드로 이주 거기서 20년간 살면서 철학, 수학, 과학에 몰두했으며, 1649년 크리스티나 여왕의 초대를 받고 마지못해 스웨덴으로 갔다. 몇 개월 후 폐렴에 감염되어 1650년 초에 스톡홀름에서 세상을 떠났다.

 

데카르트는 가장 확실하고 의심할 여지가 없는 진리를 찾으려고 노력했다.
그래서 택한 방법이 진리가 아닌 것들을 소거하는 것인데, 확실한 진리를 찾으려 불확실하다고 생각하는 감각도 배제하게 되었는데, 이는 감각도 반드시 맞는 것이라고 확신할 수 없기 때문이라 생각했기 때문이다. 그리하여 도달한 결론이 "나는 생각한다, 고로 존재한다."이다.

 

2)    저술

 

  ●. 천체론

    우주에 대한 물리적 설명서인 <천체론>을 4년에 걸쳐 집필하였으나, 교회측이 갈릴레오에게 유죄 판결을 내렸다는 소식을 듣고 신중히 고려한 끝에 포기하고 미완성인 체로 놔두었다.

 

  ●. 방법서설(方法序說)

      모든 과학에 관한 철학적 논문으로 굴절광학, 기상학, 기하학의 세 부록을 달고 있다.  1637년에 출간되었으며, 해석기하학에 대한 데카르트의 공헌은 이 세 부록 중 마지막 권에 나타나 있다.  

 

3.     데카르트가 수학에 미친 영향

 

그가 수학에 끼친 영향은 한마디로 표현하자면, 생활의 모든 분야에 수학적인 방법을 적용한 것이다. 일례를 들자면 좌표가 바로 그렇게 생활에 적용한 사례다.

 

그는 좌표평면을 이용하여 기하학(도형)의 문제를 대수적인 방법(방정식)으로 해결하는 아이디어를 처음 생각해 낸 사람이다.  

 

데카르트가 지은 책 <방법서설(方法序說)>에서 그가 수학에 미친 영향을 찾아볼 수 있다. 그는 여러 가지 학문에 여러 가지 업적을 남겼는데, 그의 저서 가운데 가장 훌륭하다고 평가되고 있는 <방법서설>은 그 본디 제목이 `이성을 바르게 인도하고, 모든 과학 속의 진리를 탐구하기 위한 방법서설. 그 부록으로 이 방법을 위한 시론으로서의 굴절광학, 기상학, 그리고 기하학`이라는 긴 제목으로 되어있다.

이 마지막 부분의 기하학에 데카르트의 수학에 대한 공헌의 하나가 포함되어 있다.

그가 수학의 발전에 이룬 공적으로 우선이 되는 것은, 음수(-)에 대한 개념을 확실하게 하고, 그 음수를 직선 위의 점으로서 나타내어 계통적으로 쓸 수 있게 했다는 점이다.

이차방정식은 이집트, 바빌로니아 등의 수학에 대한 기록에서도 더러 찾아 볼 수 있지만, 이차방정식을 본격적인 연구 대상으로서 취급한 사람은 헤론과 디오판토스이다.
그들은 이차방정식을 지금과 같은 형태로 취급하였으나, 음수, 양수 두 답 중에서 양수의 답만을 취하였다. 이것은 예전, 인도의 수학자들에 의하여 이차방정식에는 두 개의 근이 있다고 연구된 바가 있었다.
이 인도의 학자들은 양수에 대한 음수의 해석을 직선 위에 한 쪽 방향에 대한 다른 방향, 또는 재산에 대한 부채의 형태로 이해하고 있었다.

 

   <방법서설(方法序說)>은 굴절광학, 기상학, 기하학의 세 부록을 달고 있다.  1637년에 출간되었으며, 해석기하학에 대한 데카르트의 공헌은 이 세 부록 중 마지막 권에 나타나 있다.  

 

     -. 마지막 부록 기하학(la geometrie)에 대하여.

        약 100페이지에 달하는 분량이며, 세 권으로 이루어져 있다.

 

       ○. 제 1권 : 대수적 기하학의 약간의 이론을 설명하고, 전 그리스 시대에서의 발전상을 그리고 있다. 데카르트의 해석기하학을 이용하면 일반적인 경우의 문제를 풀 수 있다는 사실과 제 1권의 저술로 그는 해석기하학을 고안하도록 고무시킨 문제를 접하게 된다.

 

       ○. 제 2권 : 현재는 쓰이지 않는 곡선의 분류와 곡선의 접선을 작도하는 흥미있는 방법을 소개하였다.

 

       ○. 제 3권 : 2차 이상의 방정식의 해법에 관한 것이다. 다항식의 양근의 개수와 음근의 개수에 관한 한계를 결정하는 소위 데카르트의 부호법칙 (Descartes' rule of signs)이라 불리는 법칙이 나온다.

 

 

이중에서 특히 우리와 관련된 사항으로서는 다음과 같은 것들이 있다.

 

(1)  좌표의 발견

 

 

l  좌표 발견에 관한 일화.

 

그가 만든 좌표축에 관한 유래는 아주 흥미롭다.

젊은 시절 데카르트는 포병장교가 되어 전쟁에 참여하였고, 전쟁 중 어느 날 많은 전투에 지쳐 막사 안으로 들어와 잠을 청하려 하였는데, 어디서 윙윙거리는 파리의 소리가 들리는 것이었다. 신경이 쓰여 잠을 잘 수 없는 데카르트는 어떻게 하면 저 파리를 잡을 수 있을까 고민을 하다가 바둑판 모양으로 선이 그어진 막사의 장막과 막사중앙에 장막을 지지하기 위해 세운 받침대가 눈에 들어왔다.그래서 그때 지지대와 파리를 각각 원점과 좌표로 대응시켜 파리의 위치 추적한 것이 계기가 되었다고 한다.

 

물론 이에 관한 다른 이야기도 있다.

청년기를 군대에서 보낸 데카르트는 어느 날 막사에 누워 바둑판 모양의 천장에 파리가 기어 다니는 것을 보고 ‘움직이고 있는 파리가 여기에서 저기로 자리를 옮겼다는 사실을 잘 설명하기 위해선 어떻게 하면 좋을까? 여기와 저기를 어떻게 정하면 될까?’를 곰곰이 따져 보았다. 파리의 위치를 점으로 보고, 이 점이 어디에 있는가를 말해 주려면 어떤 기준이 있어야 한다. 그는 벽과 천장이 만나는 2개의 모서리를 기준으로 파리의 위치를 표현하려다가 좌표평면에 대한 아이디어를 얻었다고 한다.

 

결국 좌표평면이란 개념이 우리에게 알려지게 된 것은, 데카르트가 파리를 보고 우연히 기발한 생각을 한 덕분이다. 나는 이 일화를 읽으면서, 나무에서 떨어지는 사과를 보고 만유인력을 발견한 뉴톤을 떠올렸다. 수학자들은 우연을 결코 우연으로 돌리지 않는다. 우연히 보게 된 떨어지는 사과, 우연히 보게 된 파리. 보통사람들도 파리를, 나무에서 떨어지는 사과를 흔히들 보지만, 아무나 만유인력의 법칙을, 좌표를 발견하는 것은 아니다.  

 

l   좌표발견의 실제적 의미.

우리가 이 일화에서 유심히 보아야 할 것은 천장에 붙어 있는 것이 얼룩과 같이 고정된 것이 아닌 움직이는 물체(즉 파리)라는 것이다.

파리가 움직이면 x의 값이 변하면서 y의 값이 따라서 변한다. 이렇게 좌표평면 위의 임의의 점의 위치를 (x,y)로 표시함으로써 직선뿐만 아니라 원, 타원, 쌍곡선과 같은 기하학적 도형도 모두 식으로 나타낼 수 있게 되었다.

 

따라서 이 이야기는 수의 성질을 연구하는 대수학과 도형의 성질을 연구하는 기하학을 하나로 묶어 연구한 데카르트의 수학하는 방법(이를 '해석기하학' 이라 한다.)의 발견을 말해주는 일화인 것이다.

 

이것은 단지 수학에서의 발전을 이룩한 것이 아니라,  x와 y라는 두 축의 결합을 통해 사람의 인식의 폭을 2차원으로 넓혀준 것은 수학이 수학으로 그치는 것이 아니라, 철학으로까지 확대된다는 것을 보여주는 본보기라 할 수 있겠다. 

(2)   미지수 x, y 사용

 

 수학자 데카르트는 처음으로 방정식의 미지수에 x를 쓴 것으로도 유명한데
음수(-)에 대한 개념을 구체화하고 음수를 좌표계 상에 표현하여 기하학에 새로운 길을 열었다.

 

기하학에서 데카르트는 알파벳의 앞쪽의 글자들(예컨대 a, b)은 알려진 양을 나타내고, 뒤쪽의 글자들(예컨대 x,y)은 미지수를 나타내는 데 사용하는 것을 관습화시켰다.

       

 

(3)  해석 기하학.

 

또한 기하학과 해석학을 하나로 묶은 오늘날의 해석 기하학을 창시한 그의 아이디어는 기하학적 내용을 대수적 방정식으로 나타내는 획기적인 표현법을 마련하기도 하였다.
수의 성질을 연구하는 대수학과 도형의 성질을 연구하는 기하학을 하나로 묶어서 연구하여 근대 과학의 성립을 사상적으로 뒷받침하는 계기가 되었다.

 

데카르트는 그래프 위의 곡선을 연구했을 때에 놀랄만한 결과를 발견하였다. 모든 곡선이 방정식과 연관시켜 볼 수 있다는 것을 알게 되었다.

 

평면 기하학에 적용하면, 실수의 순서쌍과 평면의 점 사이의 대응을 성립시키는 것이다. 그렇게 함으로써 평면의 곡선과 두 개의 변수를 가진 방정식의 대응을 가능하게 해서, 평면의 각 곡선은 명확한 방정식 f(x, y)=0으로 표시되고, 그와 같은 각 방정식에는 평면의 어떤 곡선이나 점들의 집합이 대응한다.

방정식 f(x,y)=0의 대수적이고 해석적인 성질과 그에 대응하는 곡선의 기하학적인 성질 사이에도 이와 유사한 대응이 성립한다.

 

해석기하학은 기하학에서 문제들을 해결하고 새로운 결과들을 발견해내는 데 많이 적용되었다.

 

4.  끝내는 말

 

중학교 1학년 함수 단원을 공부하면서, (1, 2), (-2, 3)과 같이 좌표를 이용하여 점을 찍어 본 나는 그러한 것들이 너무도 당연하고 상식적인 일로 생각했었다. 그런데 이번 과제를 하면서 새삼 데카르트의 위대함을 알게 되었다.

 

그가 좌표를 생각하지 않았더라면 어떻게 되었을까?

그가 미지수를 x, y로 표시하는 아이디어를 생각하지 않았더라면 우리는 지금 어떤 식으로 그러한 문제들을 풀고 있을까?

실제생활에서 방정식( 1차 방정식, 2차 방정식을 막론하고) 을 사용하여 얼마나 많은가?

 

만일 데카르트가 좌표, 함수를 비롯한 것들을 발견하지 안았더라면 어떤 일이 발생했을까? 우리는 혹시 주먹구구식으로 문제를 풀고 있지는 않을까? 아니다, 파스칼이 있으니 파스칼이 발명한 계산기를 사용하여 해결은 하겠지.

 

그런 면에서 우리는 그러한 수학자들에게서 많은 선물을 받아 누리고 있다. 그러한 수학자중 한명인 데카르트에게서도, 역시 마찬가지이다.

 

그러한 영향을 계속하여 누리기 위해서는 데카르트의 연구 규칙을 마음에 품고 공부를 하고 싶다.

 

<방법 서설>에 나오는 연구규칙은 다음과 같다.

첫째, 내가 명확히 알고 있지 않은 것은 결코 사실로 받아 들이지 않는다.

둘째, 관찰하고 있는 어려움을 가능한 많은 부분으로 나눈다.

세째, 제일 간단하고 제일 쉬운 것부터 시작하여 점차 복잡한 것을 연구한다.

네째, ‘빠뜨린 것이 아무 것도 없다’라고 확신이 들도록 완전하게 열거하고 매우 일반적으로 검토한다. 

 

그리고 또 하나, 내 눈앞에 보이는 파리 한 마리, 사과 한 개라도 무심히 보아 넘기는 일은 없어야겠지?