수를 일렬로 나열한 것을 수열이라고 하는데, 그 중에서 똑같은 값만큼 커지는 수열을 등차수열(arithmetic progression)이라고 한다.
이를테면 100, 95, 90, 85 라는 네 수로 된 수열은 -5 씩 커지므로 등차수열이 된다.

언제나 정수론의 관심사는 소수(prime number)이므로 소수로 한 번 눈을 돌려보자. 즉, 소수만으로 이루어진 등차수열은 없을까?

그 예로는 다음과 같은 것들이 있다.
2
2, 3
3, 5, 7
5, 11, 17, 23
5, 11, 17, 23, 29
7, 37, 67, 97, 127, 157
7, 157, 307, 457, 607, 757
. . .
5749146449311 + 26004868890n (n = 0, ... , 20)
11410337850553 + 4609098694200n (n = 0, ... , 21) (Moran, Pritchard, Thyssen, 1995)
56211383760397 + 44546738095860n (n = 0, ... , 22) (Frind, Underwood, Jobling, 2004)

그렇다면 과연 소수만으로 이루어진 등차수열은 얼마나 길어질 수 있을까? 간단하게 한 번 추측을 해 보자.

n 이하의 자연수 중에서 한 수를 찍었을 때 소수가 될 확률은 충분히 큰 n에 대해 유명한 소수정리(prime number theorem)에 근거해서 대략 1/log n과 비슷해진다고 생각할 수 있다.
만약 k가 주어진 상태에서 길이 k의 등차수열을 아무렇게나 선택한다면, 초항 x와 공차 d를 선택하여 수열



을 만들 수 있다. 그런데 이 각각이 몽땅 소수가 되어야 하므로 그 확률은 1/(log n)^k와 얼추 비슷해진다고 생각해볼 수 있다.
x와 d를 각각 n이하의 숫자들 중에서 선택한다면 모든 경우의 수는 n²가 된다. 그러니까 1/(log n)^k의 확률로 일어나는 사건을 n²회 시행하여 한 번이라도 일어나기를 바라는 것이므로, 길이 k짜리 소수만으로 이루어진 등차수열이 하나라도 나타날 확률이 얼추 n² / (log n)^k와 비슷해질 것 같다는 감이 온다. (물론 이항전개 등등으로 좀 더 설명할 수도 있지만, 인생 뭐 별거있나 그까이거 대충 사는거지.)

근데 암만 k가 커서 엄청난 지수를 자랑한다고 해도 이건 고정된 거고 어차피 로그는 로그일 뿐, 이차항인 n²의 속도에 언젠가는 따라잡히게 된다. 따라서 충분히 큰 숫자의 무더기 중에서 잘 찾아보면 어쩌면 적당히 긴 소수의 등차수열을 항상 발견할 수도 있다는 희망의 메시지를 받을 수 있다.

근데 이걸 구체적으로 어떻게 증명하는가? 그건 뭐 나도 모르고-_- 뭐 어쨌든 유명한 테렌스 타오(Terence Tao)라는 친구가 벤 그린과 함께 이걸 실제로 증명하는 바람에 2006년 필즈메달을 수상하게 된다는 아름다운 이야기였다. ㅋㅋㅋ 심심하면 위키의 Green–Tao theorem 항목도 보시라.

타오 이 친구는 블로깅도 열심히 하는 블로거인데, 예전에 블로그 글을 모아 책도 낸 적이 있다. 심심할 때마다 한 번씩 그의 블로그를 방문하면 아주 가끔씩 알아먹을만한 게시물이 올라올지도 모르므로-_- 열심히 읽고 있다. ㅋㅋㅋ