수학의 기본요소는 논리와 집합과 함수라고 할 수 있다. 현재 남아있는 가장 오래된 수학책인 유클리드의 “원론”에서부터 논리는 수학을 탐구하는 기본적인 법칙이다. 특히 공리론적 방법으로 수학을 탐구하는 방법은 다른 학문의 탐구에서도 매우 효과적인 방법일 것이다.

논리가 수학의 시초부터 같이 출발된 반면에, 18세기가 되어서야 가우스가 함수를 명확히 정의하고, 19세기 말이 되어서야 칸토어가 집합을 정의한다. 이를 바탕으로 20세기 초에 집합에 대한 공리론적 방법의 접근으로 수학의 기초적인 구성이 완성된다.

집합론은 수학의 기초를 제공한다. 수는 수학의 주 탐구대상이다. 가장 기본적인 수는 자연수이고, 자연수를 이용하여 정수를 정의할 수 있고, 정수를 이용하여 유리수를 정의할 수 있고, 마지막으로 실수와 복소수를 정의할 수 있다. 실수는 1차원 유클리드 공간인 수직선의 점으로 이해할 수 있으며, 다차원 유클리드 공간은 수직선의 다중 곱집합으로 이해할 수 있다. 공리론적 방법과 집합을 이용하여 자연수를 귀납적으로 정의할 수 있다. 다시 말하면 집합을 이용하여 수와 공간을 정의할 수 있다.