평행선은 정말 하나뿐일까? 종이 위에서는 당연해 보이는 질문이 공간의 규칙을 바꾸면 전혀 다른 답으로 이어진다. 이 책은 유클리드 기하학에서 출발해, 한 점을 지나 주어진 직선과 만나지 않는 선이 여러 개 생기는 쌍곡기하학과 평행선이 없는 타원기하학까지 차례로 살펴본다. 공준을 바꾸는 일이 단순한 상상이 아니라 새로운 정의와 규칙을 세우고, 그 안에서 무엇이 따라오는지 확인하는 탐구임을 보여 준다.

구면 위의 대원은 왜 표면에서 곧은 길이 될까? 구면 삼각형의 각의 합은 어떻게 180도를 넘어설까? 쌍곡공간을 그린 원판 모형은 공간 자체와 무엇이 다를까? 책은 지구본과 지도, 삼각형, 간단한 사고실험을 발판 삼아 거리·각도·측지선·곡률의 개념을 연결한다. 낯선 모형을 제시하는 데서 멈추지 않고, 그림이 어떤 관계를 보존하고 어떤 성질을 왜곡하는지 묻는다.

또한 기하학적 가능성과 현실에 대한 설명을 구별한다. 측정과 지도, 과학적 모형을 다룰 때는 어떤 공간을 전제했는지, 관측이 그 전제를 어디까지 뒷받침하는지 확인하도록 안내한다. 수학을 전공하지 않은 독자도 핵심 개념을 말로 설명하고, 세 기하학의 차이를 직접 비교하며, 수학적 모형이 말하는 것과 말하지 않는 것을 판단하도록 구성했다. 증명 중심 교재의 부담은 덜되, 정의와 가정, 결과 사이의 논리적 구분은 놓치지 않는다.

각 장의 사고실험과 관찰 활동을 따라가다 보면 처음의 질문은 더 정확한 질문으로 바뀐다. ‘평행선은 몇 개인가?’에서 ‘어떤 공간에서, 평행을 어떻게 정의하는가?’로. 익숙한 기하학을 부정하기보다 그 성립 조건을 알아보고, 다른 규칙 아래에서도 일관된 기하학이 가능함을 이해하고 싶은 독자를 위한 교양 수학 탐구서다.