우리가 어릴 때 배웠던 이등변 삼각형, 정삼각형, 피타고라스 정리와 같은 근본적 기하학인 유클리드 기하학을 포함하여 구면 위의 구면기하학과 쌍곡면 위의 쌍곡기하학을 포함하는 사원수 체계에 대해 소개한다. 더 나아가 사원수 체계는 유클리드와 비유클리드 기하학을 포함할 뿐만 아니라 쌍곡선함수의 각을 갖는 새로운 쌍곡선 기하학을 예측하게 한다.